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ワイエルシュトラス、多分数学科で初っ端から出るのは「ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理」な気がします
こっちは実数の性質関連の話で、位相空間論の基礎づけと言えそうです(位相が開集合によって定義されているため)
多項式近似の話になると、以前お話ししたフーリエ級数の話にも近くなりますね
モチベーションとしてはそれと近いですが、関数空間を考える必要があるので学部中〜上級な気がします
おすすめの稠密性(実数、有理数の性質の一つ)の動画です
https://youtube.com/watch?v=CV-PgDTHISU&pp=0gcJCY8Co7VqN5tD